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角动量守恒定理：
角动量守恒定理：
在平动中就讲了动量守恒，在所受合外力为0，或则内力远远大于合外力的时候物体的动量是保持守恒的。在刚体转动过程中也有这样子的性质，当刚体所受合外力的力矩为0的时候，也就是 M=0 时， L=Jω 将会保持衡量，不会变化。
（该定律不但适用于刚体，同样也适用于绕定轴转动的任意物体系统。 ）
的几种情况：
（1）合外力 F 在转轴方向的投影 F⊥ 为0。
2）F⊥ 与转动半径 r 的夹角为0°。
推导过程：根据之前所学 M=Jα 和 L=Jω ，且 α=dω/dt ，可得 M=dL/dt 。因此 ∫(t₁→t₂)Mdt=Lt₂-Lt₁ 。当 M=0 时， ΔL=0 ，即角动量守恒。用书上的精确表述：在某一时间段内，作用在刚体上的外力的冲量矩等于刚体的角动量增量。（其中，力矩对时间的积分即为冲量矩，角动量的变化量即为角动量增量）
角动量守恒的常见情况：
（1）转动惯量改变：比如下面这幅图
假设将人简化为一个圆柱，双臂张开时的转动惯量 J₁ 大于双臂收拢时的转动惯量 J₂ 。在无外力情况下，必有 ω₁<ω₂ 。
（2）平动物体撞上刚体：比如这幅图
首先分析子弹：穿出后速度降低，因此 Δp=m(v₀-v) 为负值，说明碰撞力对子弹做负功。若碰撞时间极短，则 F=ΔP/Δt 。刚体受到的力矩为 M=FL=ΔP·L/Δt=Jα ，因此 α=ΔP·L/(Δt·J) 。由于碰撞时间极短，所以 Δω=α·Δt=ΔP·L/J 。最终得到基本公式：
JΔω=mΔvL
（对于多个物体相互碰撞的情况，可以依次按此方法计算它们之间的关系。有兴趣的话不妨推导一下完全弹性碰撞的情况）
1. 力矩对刚体所做功的功率
公式：P=Mω
单位：W
推导过程：合外力在极小时间 Δt 内所做的功可表示为： dW=F·ds=F·sinφ·rdθ （根据高中数学公式： ds=r·dθ ，且因为是向量乘积，需乘以 sinφ ）
由于 M=Fr·sinφ ，所以 dW=Mdθ 。因此 P=dW/dt=M·dθ/dt=Mω
2. 力矩对刚体所做的功
公式： W=∫(0→θ)Mdθ
单位：J
推导过程：由上述功率推导已得 dW ，积分即可。
3. 刚体转动的动能
公式： Ek=½Jω²
单位：J
推导过程：由 dW=Mdθ 及 M=Jα=J·dω/dt ，联立可得 dW=J·dω/dt·dθ=J·dθ/dt·dω=Jω·dω 。因此动能 Ek=∫(0→ω)dW=J∫(0→ω)ω·dω=½Jω²
常见几种模型的各个量是否守恒：
4. 刚体的重力势能
公式： Ep=mghc （其中 hc 为刚体质心到零势面的高度）
单位：J
推导过程：由于质心各方向质量相同，且重力势能呈线性变化，直接取中值即可。
5. 刚体的机械能守恒
公式： E=Ep+Ek
应用：如图，质量为m、长为l的均匀细棒绕O点的转轴从水平位置以零角速度自由下摆。求细棒运动到与水平夹角为 θ 时的角速度。
解：根据能量守恒，重力势能减小量为 ΔEp=mg·½l·sinθ ，动能增量为 ΔEk=½Jω² 。已知 J=⅓ml² ，则： ΔEp=ΔEk 。解方程： mg·½l·sinθ=⅙ml²ω² ⇒ ω²=3g·sinθ/l ⇒ ω=√(3g·sinθ/l)
在前面研究公式的时候，我们就发现了许多平动与刚体转动公式之间的惊人的相似 。就好像被人刻意设计过一样。下面把两边的公式总结并且类比一下。
- 作者:FXY
- 链接:https://ifxy.vercel.app/article/%E8%A7%92%E5%8A%A8%E9%87%8F
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