耦合摆 | FXY’S BLOG

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定性理解

耦合摆是单摆的一种耦合形式，下面我们将从定性和定量两个角度来解读。首先，让我们从定性的角度来理解：“耦合”意味着有惯性。我们将最初被拨动的摆称为 A 摆，然后开始摆动的摆称为 B 摆。A 摆将能量传递给 B 摆，在传递的过程中具有惯性。物体之间的能量传递过程将持续，直到能量完全传递给对方，然后完成反方向的能量传递。这就好比将物体向上抛出，刚开始有一个初速度，然后速度逐渐减小，高度不断增加，直至物体的动能完全转变成重力势能。此时物体静止，然后开始反向的转化，物体下落，重力势能再次转化为动能。耦合摆的能量传递过程实际上可以理解为一种共振现象，摆进行简谐振动，忽略空气阻力与一切摩擦。A 摆振动的能量通过细绳传递给 B 摆，使 B 摆开始振动；B 摆再次通过相同的作用使已经停止的 A 摆再次振动。

定量理解

现有两个单摆，质量均为 m，悬挂于长度为 l 的硬质绳子上。两个摆以弹性系数为 k，满足胡克定律的细绳连接。两摆的初始角度分别为 \(\theta_{1}\) 和 \(\theta_{2}\) 。与单摆的公式不同，耦合摆需要加上胡克定律项：

\[ml\frac{d^{2}\theta_{1}}{dt^{2}} = -mg\theta_{1} + kl(\theta_{2}-\theta_{1})\] \[ml\frac{d^{2}\theta_{2}}{dt^{2}} = -mg\theta_{2} - kl(\theta_{2}-\theta_{1})\]

胡克定律中的位移 \(\Delta S\) 可表示为线速度 v 的积分，即 \(\Delta S = l\Delta \theta\)

不难注意到，方程组中含有大量的对称性。为了更明显地体现对称性，我们设定：

\[x_{i} = ml\theta_{i} (i = 1,2)\] \[\alpha = \frac{g}{l}\] \[\beta = \frac{k}{m}\]

重新将方程写为：

\[\frac{d^{2}x_{1}}{dt^{2}} = -\alpha x_{1} + \beta(x_{2}-x_{1})\] \[\frac{d^{2}x_{2}}{dt^{2}} = -\alpha x_{2} - \beta(x_{2}-x_{1})\]

原方程可以表达为矩阵的形式：

\[\ddot{X} = AX\]

其中：

\[\ddot X = \begin{bmatrix} \ddot x_{1} \\ \ddot x_{2} \end{bmatrix}\] \[A = \begin{bmatrix} -\alpha - \beta & \beta\\ \beta & - \alpha - \beta \end{bmatrix}\] \[X = \begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2} \end{bmatrix}\]

矩阵 A 的两个特征值为：

\(\lambda_1 = -\alpha\)， \(\lambda_2 = -\alpha - 2\beta\)

将耦合摆解耦：

设有矩阵：

\[S = \begin{bmatrix} S_{1}&S_{2}\\ S_{3}&S_{4} \end{bmatrix}\]

\[S^{-1} = \frac{1}{\text{det}(S)} \cdot \begin{bmatrix} S_{4}&-S_{2}\\ -S_{3}&S_{1} \end{bmatrix}\]

定义一个矩阵 y = \begin{bmatrix} y_1\\ y_2 \end{bmatrix} ，使得： \(X = S^{-1}y\) .

那么有： \(S^{-1}\ddot y = \ddot X = AX = AS^{-1}y\) ,

因此： \(\ddot y = SAS^{-1}y\) .

为了解耦，我们希望 \(SAS^{-1}\) 这个乘积为一个对角线矩阵。因此，这个乘积必然是由矩阵 A 的特征值组成的矩阵，即：

\[SAS^{-1} =\frac{1}{\text{det}(S)}\cdot \begin{bmatrix} (S_

1S_4-S_2S_3)(-\alpha-\beta)+(S_2S_4-S_1S_3)\beta&S_1^2-S_2^2\\ S_4^2-S_3^2&(S_1S_4-S_2S_3)(-\alpha-\beta)-(S_2S_4-S_1S_3)\beta \end{bmatrix}\]

\[= \begin{bmatrix} -\alpha& 0\\ 0&-\alpha-2\beta \end{bmatrix}\]

由于 \(\text{det}[S]\) 是一个常数，在这个计算中我们可以将其忽略，并不会影响结果。以上矩阵可以写作四个方程：

\((S_1S_4-S_2S_3)(-\alpha-\beta)-(S_2S_4-S_1S_3)\beta = -\alpha-2\beta\)

\((S_1S_4-S_2S_3)(-\alpha-\beta)+(S_2S_4-S_1S_3)\beta = -\alpha\)

\(S_4^2-S_3^2 = 0\)

\(S_1^2-S_2^2 = 0\)

不失一般性地，假定 \(S_1 = S_2 = 1\) ，则因为 \(\text{det}(S)\) 不为0， \(S_3 = -S_4\) .

由 \(S_1S_4-S_2S_3=1\)，可知: \(2S_1S_4 = 1;\space \space 2S_1S_3 = -1\) .

所求矩阵 S 即为： \(\begin{bmatrix} 1&1\\ 1/2&-1/2 \end{bmatrix}\) ， \(S^{-1} = \begin{bmatrix} 1/2&-1\\ 1/2&1\\ \end{bmatrix}\)

最后的解：

\(\ddot y = \begin{bmatrix} -\alpha& 0\\ 0&-\alpha-2\beta \end{bmatrix}y\)

\(X = S^{-1} y\)

由于我们已经通过变换将 y 的两个元素解耦，我们可以轻松地求解 y：

\(y_1 = -\sqrt{\alpha}\cos (\sqrt{\alpha}t)\)

\(y_2 = -\sqrt{\alpha+2\beta}\cos (\sqrt{\alpha+2\beta}t)\)

将 y 转换为 X，可以得到 x 关于 t 的函数：

\[x_1 = -\frac{\sqrt{\alpha}\cos (\sqrt{\alpha}t)}{2}+\sqrt{\alpha+2\beta}\cos (\sqrt{\alpha+2\beta}t)\]

\[x_2 = -\frac{\sqrt{\alpha}\cos (\sqrt{\alpha}t)}{2}-\sqrt{\alpha+2\beta}\cos (\sqrt{\alpha+2\beta}t)\]

将原来的变量代回，可以得到我们方程的解：

\[ml\theta_1 = -\frac{\sqrt{\frac{g}{l}}\cos (\sqrt{\frac{g}{l}}t)}{2}+\sqrt{\frac{g}{l}+2\frac{k}{m}}\cos (\sqrt{\frac{g}{l}+2\frac{k}{m}}t)\]

\[ml\theta_2 = -\frac{\sqrt{\frac{g}{l}}\cos (\sqrt{\frac{g}{l}}t)}{2}-\sqrt{\frac{g}{l}+2\frac{k}{m}}\]

这样的Markdown文本应该更加清晰和易读。如果还有其他调整或修改的需要，请随时告诉我。